Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 5 x^{2} < x + 5$

Etapa 1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} + 5 x^{2} - x < 5$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 5 x^{2} - x = 5$

Etapa 3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - x - 5 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 5) - (x + 5) = 0$

Etapa 4.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 4.4

Fatore.

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Etapa 4.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - 1, 1$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} < (- 8) + 5$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 192$ é menor do que o lado direito $- 3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} < (- 3) + 5$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $18$ não é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} < (0) + 5$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} + 5 {(4)}^{2} < (4) + 5$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $144$ não é menor do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $- 1 < x < 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, 1)$

Etapa 14