Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore $u^{2} - 80 u + 1024$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $1024$ e cuja soma é $- 80$ .

$- 64, - 16$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Etapa 4

Defina $u - 64$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $u - 64$ como igual a $0$ .

$u - 64 = 0$

Etapa 4.2

Some $64$ aos dois lados da equação.

$u = 64$

Etapa 5

Defina $u - 16$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u - 16$ como igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

Etapa 5.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$u = 16$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 64) (u - 16) = 0$ verdadeiro.

$u = 64, 16$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 64$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{64}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 16$

Etapa 11.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 12

A solução para $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ é $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $3024$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 560$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $1024$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $- 560$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $3024$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 < x < - 4$ ou $4 < x < 8$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Etapa 17