Pré-cálculo Exemplos

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 5.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 7

O período da função $\sin (3 x)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Etapa 8.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 8.1.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 8.1.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 8.1.2.1.1.2.4

Divida $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Etapa 8.1.2.1.2

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Etapa 8.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Etapa 8.1.2.2

Some $\frac{π}{18}$ e $0$ .

$\frac{π}{18}$

Etapa 8.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Etapa 8.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 8.2.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 8.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 8.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 8.2.2.1.1.2.4

Divida $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Etapa 8.2.2.1.2

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Etapa 8.2.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Etapa 8.2.2.2

Some $\frac{5 π}{18}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Etapa 8.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Etapa 8.3

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.3.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 8.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Etapa 8.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Etapa 8.3.2.5.2

Some $π$ e $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Etapa 8.3.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Etapa 8.4

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Etapa 8.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 8.4.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 8.4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Etapa 8.4.2.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Etapa 8.4.2.5.2

Some $5 π$ e $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Etapa 8.4.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Etapa 8.5

Substitua $2$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Substitua $2$ por $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Etapa 8.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 8.5.2.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 8.5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Etapa 8.5.2.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.5.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Etapa 8.5.2.5.2

Some $π$ e $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Etapa 8.5.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Etapa 8.6

Substitua $2$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Substitua $2$ por $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Etapa 8.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 8.6.2.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 8.6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Etapa 8.6.2.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Etapa 8.6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.5.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Etapa 8.6.2.5.2

Some $5 π$ e $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Etapa 8.6.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$