Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(2)}^{4} + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$16 + 2^{1} {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 + 2^{1 + 3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$16 + 2^{4} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + 16 - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 + 16 - 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$16 + 16 - 20 - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$16 + 16 - 20 - 16 + 4$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $16$ e $16$ .

$32 - 20 - 16 + 4$

Etapa 4.2.2

Subtraia $20$ de $32$ .

$12 - 16 + 4$

Etapa 4.2.3

Subtraia $16$ de $12$ .

$- 4 + 4$

Etapa 4.2.4

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$	$4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$3$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (3) x - 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 7.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Etapa 7.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 - 2$

Etapa 7.1.3.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$- 8 + 16 + 3 \cdot - 2 - 2$

Etapa 7.1.3.5

Some $- 8$ e $16$ .

$8 + 3 \cdot - 2 - 2$

Etapa 7.1.3.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$8 - 6 - 2$

Etapa 7.1.3.7

Subtraia $6$ de $8$ .

$2 - 2$

Etapa 7.1.3.8

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Etapa 7.1.5

Divida $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ por $x + 2$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 7.1.6

Escreva $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} + 2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} + 2 x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.4.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 2) (x + 2) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 1 + \sqrt{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4$ .

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 2, - 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Etapa 11