Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4.1.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 4 + 9 - 7 + 2$

Etapa 4.2.2

Some $- 4$ e $9$ .

$5 - 7 + 2$

Etapa 4.2.3

Subtraia $7$ de $5$ .

$- 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(9)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Fatore $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Etapa 7.1.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

Etapa 7.1.1.3.5

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

Etapa 7.1.1.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 3 + 5 - 2$

Etapa 7.1.1.3.7

Some $- 3$ e $5$ .

$2 - 2$

Etapa 7.1.1.3.8

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ por $x - 1$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 3 x + 2$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 7.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 2$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x - 2)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ .

$x = 1, 2$

Etapa 10