Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{(x + 2) (x + 5)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x + 5)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.3

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (x + 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 5 A + B x + B \cdot 2$

Etapa 1.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x + 5 A + B x + 2 B$

Etapa 1.7

Mova $5 A$ .

$x = A x + B x + 5 A + 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 5 A + 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 5 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 5 A + 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = 5 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $5 (1 - B) + 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 = 5 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 5 B$ e $2 B$ .

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 5 - 3 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $5 - 3 B = 0$ .

$5 - 3 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 3 B = - 5$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 3 B = - 5$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = - 5$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{3}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{5}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{3})$

$B = \frac{5}{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{5}{3})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{3 - 5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $5$ de $3$ .

$A = \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Etapa 3.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{2}{3}, B = \frac{5}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{3}}{x + 5}$