Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 20}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x^{3} + 5 x^{2}) + 4 x + 20}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{x^{2} (x + 5) + 4 (x + 5)}$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 5$ .

$\frac{6 x^{2} + 13 x + 31}{(x + 5) (x^{2} + 4)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 5}$

Etapa 1.3

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 5) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x + 5) (x^{2} + 4)}{(x + 5) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(6 x^{2} + 13 x + 31) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.6.2

Divida $6 x^{2} + 13 x + 31$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{(A) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = \frac{A (x + 5) (x^{2} + 4)}{x + 5} + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 5) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B x + C) (x + 5)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 5)$

Etapa 1.7.5

Expanda $(B x + C) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.7.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x (x + 5) + C (x + 5)$

Etapa 1.7.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C (x + 5)$

Etapa 1.7.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Etapa 1.7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.6.1.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Etapa 1.7.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 5 + C x + C \cdot 5$

Etapa 1.7.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $B x$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) + C x + C \cdot 5$

Etapa 1.7.6.3

Mova $5$ para a esquerda de $C$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 B x + C x + 5 C$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Mova $B$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 5 x B + C x + 5 C$

Etapa 1.8.2

Mova $4 A$ .

$6 x^{2} + 13 x + 31 = A x^{2} + B x^{2} + 5 x B + C x + 4 A + 5 C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$13 = 5 B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$31 = 4 A + 5 C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$6 = A + B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $6 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 4 A + 5 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $6 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $31 = 4 A + 5 C$ por $6 - B$ .

$31 = 4 (6 - B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$31 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $6$ .

$31 = 24 + 4 (- B) + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$A = 6 - B$

$13 = 5 B + C$

Etapa 3.3

Reordene $6$ e $- B$ .

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$13 = 5 B + C$

Etapa 3.4

Resolva $C$ em $13 = 5 B + C$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $5 B + C = 13$ .

$5 B + C = 13$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Etapa 3.4.2

Subtraia $5 B$ dos dois lados da equação.

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 5 C$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $13 - 5 B$ em cada equação.

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Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $31 = 24 - 4 B + 5 C$ por $13 - 5 B$ .

$31 = 24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique $24 - 4 B + 5 (13 - 5 B)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$31 = 24 - 4 B + 5 \cdot 13 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $13$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 + 5 (- 5 B)$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = 24 - 4 B + 65 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.5.2.1.2.1

Some $24$ e $65$ .

$31 = - 4 B + 89 - 25 B$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Subtraia $25 B$ de $- 4 B$ .

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$31 = - 29 B + 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $31 = - 29 B + 89$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $- 29 B + 89 = 31$ .

$- 29 B + 89 = 31$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $89$ dos dois lados da equação.

$- 29 B = 31 - 89$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $89$ de $31$ .

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$- 29 B = - 58$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $- 29 B = - 58$ por $- 29$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $- 29 B = - 58$ por $- 29$ .

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 29 B}{- 29} = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 58}{- 29}$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.3.1

Divida $- 58$ por $- 29$ .

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

$B = 2$

$C = 13 - 5 B$

$A = - B + 6$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 13 - 5 B$ por $2$ .

$C = 13 - 5 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique $13 - 5 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$C = 13 - 10$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Etapa 3.7.2.1.2

Subtraia $10$ de $13$ .

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

$C = 3$

$B = 2$

$A = - B + 6$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 6$ por $2$ .

$A = - (2) + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Etapa 3.7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.4.1

Simplifique $- (2) + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A = - 2 + 6$

$C = 3$

$B = 2$

Etapa 3.7.4.1.2

Some $- 2$ e $6$ .

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

$A = 4$

$C = 3$

$B = 2$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$A = 4, C = 3, B = 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 5} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{4}{x + 5} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + 4}$