Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 20 u + 64$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $64$ e cuja soma é $- 20$ .

$- 16, - 4$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.8

Fatore.

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Etapa 1.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4, - 2, 2$