Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (20 - x - x^{2})$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (20 - x - x^{2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$20 - x - x^{2} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$20 - x - x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $- 1$ de $20 - x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Mova $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Reordene $- x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 5$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} > 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $- 36$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$20 - (0) - {(0)}^{2} > 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $20$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$20 - (6) - {(6)}^{2} > 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $- 22$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < 4$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 5, 4)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 < x < 4}$

Etapa 4