Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ é indefinida.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.6.1

Reescreva $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ como $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Etapa 5.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2

Expanda $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $4 x^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.5

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 6 x$ .

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 6$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - 2 x + 2$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{3}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - 2 x + 2$

Etapa 7