Pré-cálculo Exemplos

$\frac{9 x^{2} + 37 x + 41}{3 x + 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{9 x^{2} + 37 x + 41}{3 x + 5}$ é indefinida.

$x = - \frac{5}{3}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$5$

$9 x^{2}$

$37 x$

$41$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$3 x$
	$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			+	$9 x^{2}$	+	$15 x$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} + 15 x$ .

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $22 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					+	$22 x$	+	$\frac{110}{3}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $22 x + \frac{110}{3}$ .

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					-	$22 x$	-	$\frac{110}{3}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					-	$22 x$	-	$\frac{110}{3}$
							+	$\frac{13}{3}$

Etapa 5.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$3 x + \frac{22}{3} + \frac{13}{3 (3 x + 5)}$

Etapa 5.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 3 x + \frac{22}{3}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{5}{3}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 3 x + \frac{22}{3}$

Etapa 7