Pré-cálculo Exemplos

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

Etapa 1.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

Etapa 1.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{- 3}$

Etapa 1.2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $- 12$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Some $- 3$ e $1$ .

$e = \frac{- 2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ .

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Etapa 5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{12}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = \frac{1}{3}$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{7}{12}$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Foco: $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Eixo de simetria: $y = \frac{1}{3}$

Diretriz: $x = - \frac{7}{12}$

Etapa 10