Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

Etapa 1.1.1.3

Some $31$ aos dois lados da equação.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Etapa 1.2.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Etapa 1.2.3.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.5.1

Fatore $4$ de $1 \cdot 4$ .

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$d = 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $16$ .

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

Etapa 1.2.4.2.3

Subtraia $9$ de $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $- 40$ por $8$ .

$e = - 5$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 2$

Etapa 5.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - 3)$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 3$

Etapa 8

Encontre a diretriz.

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Etapa 8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - 7$

Etapa 9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 5, - 3)$

Foco: $(- 3, - 3)$

Eixo de simetria: $y = - 3$

Diretriz: $x = - 7$

Etapa 10