Pré-cálculo Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o inverso de $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Etapa 1.1

O inverso de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ onde $a d - b c$ é o determinante.

Etapa 1.2

Encontre o determinante.

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Etapa 1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 - (- 3 \cdot 4)$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $- (- 3 \cdot 4)$ .

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Etapa 1.2.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$10 - - 12$

Etapa 1.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$10 + 12$

Etapa 1.2.2.2

Some $10$ e $12$ .

$22$

Etapa 1.3

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 1.4

Substitua os valores conhecidos na fórmula para o inverso.

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1}{22}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Fatore $2$ de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.1.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.1.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $2$ de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.2.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.2.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.3

Combine $\frac{1}{11}$ e $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.5

Combine $\frac{1}{22}$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 1.6.6

Combine $\frac{1}{22}$ e $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Etapa 3

Simplifique a equação.

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Etapa 3.1

Multiplique $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Etapa 3.1.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $2 \times 2$ e a segunda matriz é $2 \times 2$ .

Etapa 3.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Etapa 3.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz $A$ é a própria matriz $A$ .

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ .

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Etapa 3.3.1

Etapa 3.3.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$