Pré-cálculo Exemplos

${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$ , $n = 3$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $4$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $\frac{1}{3} x$ e $b$ $y^{2}$ na expressão.

$1 {(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(\frac{1}{3} x)}^{3}$ por $1$ .

${(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

${(\frac{x}{3})}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3^{3}} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{0}$ .

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Etapa 4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{2 \cdot 0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} \cdot 1 + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.7

Multiplique $\frac{x^{3}}{27}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.9

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.10

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{9} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.11.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 (3)} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.12

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{1}$ .

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Etapa 4.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2 \cdot 1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.12.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.13

Combine $\frac{x^{2}}{3}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.15

Simplifique.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.16

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.16.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.17

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.17.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{2 \cdot 2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.17.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.18

Multiplique ${(\frac{1}{3} x)}^{0}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.19

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{x}{3})}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.20

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{x^{0}}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.21

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.22

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{1} {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.23

Divida $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(y^{2})}^{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(y^{2})}^{3}$

Etapa 4.25

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{3}$ .

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Etapa 4.25.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{2 \cdot 3}$

Etapa 4.25.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{6}$