Pré-cálculo Exemplos

${(x + 3)}^{6}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(x + 3)}^{6}$ , $n = 6$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $7$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $x$ e $b$ $3$ na expressão.

$1 {(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{6}$ por $1$ .

${(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.3

Multiplique $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.4

Avalie o expoente.

$x^{6} + 6 x^{5} \cdot 3 + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 9 + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.7

Multiplique $9$ por $15$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.8

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 27 + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.9

Multiplique $27$ por $20$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.10

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 81 + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.11

Multiplique $81$ por $15$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.12

Simplifique.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.13

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x \cdot 243 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.14

Multiplique $243$ por $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.15

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Etapa 4.16

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(3)}^{6}$

Etapa 4.17

Multiplique ${(3)}^{6}$ por $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(3)}^{6}$

Etapa 4.18

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 729$