Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

Etapa 1

Some $4 x$ aos dois lados da desigualdade.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

Etapa 3

Subtraia $21$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Etapa 4

Fatore $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

Etapa 4.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 5$ por $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.6

Subtraia $45$ de $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

Etapa 4.3.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$9 + 12 - 21$

Etapa 4.3.8

Some $9$ e $12$ .

$21 - 21$

Etapa 4.3.9

Subtraia $21$ de $21$ .

$0$

Etapa 4.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

Etapa 4.5

Divida $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ por $x - 3$ .

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Etapa 4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

Etapa 4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

Etapa 4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

Etapa 4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Etapa 4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Etapa 4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

Etapa 4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x - 21$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

Etapa 4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

Etapa 4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + x + 7$

Etapa 4.6

Escreva $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Defina $2 x^{2} + x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $2 x^{2} + x + 7$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 x^{2} + x + 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 1$ e $c = 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Etapa 7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.3

Subtraia $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.4

Reescreva $- 55$ como $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (55)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Etapa 7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.3

Subtraia $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.4

Reescreva $- 55$ como $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (55)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

Etapa 7.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

Etapa 7.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Etapa 7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.3

Subtraia $56$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.4

Reescreva $- 55$ como $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (55)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

Etapa 7.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

Etapa 7.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 3$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 3]$

Etapa 11