Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 9 x + 20$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $9$ .

$4, 5$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, - 5$

Etapa 7

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 9

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 9.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 10

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Etapa 14

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

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Etapa 14.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x$ .

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Etapa 14.2.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 14.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 14.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 14.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 14.2.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 14.2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 14.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 14.2.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 14.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$

Etapa 14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{230769}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4.5$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $- 4.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 0.05263157$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 16.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 16.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Etapa 16.4.3

O lado esquerdo $4.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 16.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 5$ ou $x > 5$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Etapa 19