Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 4$

Etapa 7

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 8

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 9

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 10

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 10.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 11

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2, - 4$

$x = 4, - 4$

Etapa 12

Consolide as soluções.

$x = 2, - 4, 4, - 4$

Etapa 13

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ .

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Etapa 13.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 13.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 13.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 13.2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 13.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 13.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 13.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 13.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 13.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $0.8$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8}{{(0)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $0.5$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{{(3)}^{2} + 2 (3) - 8}{{(3)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 15.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} + 2 (6) - 8}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 15.4.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 4$

Etapa 17

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(2, 4)$

Etapa 18