Pré-cálculo Exemplos

$g (x) = 2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$

Etapa 1

Defina $2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$ como igual a $0$ .

$2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$2 e^{x} + 6 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Etapa 2.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$2 u + 6 u^{- 1} - 7 = 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u + 6 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Etapa 2.3.2

Combine $6$ e $\frac{1}{u}$ .

$2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$

Etapa 2.4

Resolva $u$ .

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Etapa 2.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1, 1$

Etapa 2.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 2.4.2

Multiplique cada termo em $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique cada termo em $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ por $u$ .

$2 u \cdot u + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Etapa 2.4.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0 u$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Multiplique $0$ por $u$ .

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0$

Etapa 2.4.3

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.4.3.1.1

Reordene os termos.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 2.4.3.1.2.1

Fatore $- 7$ de $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Reescreva $- 7$ como $- 3$ mais $- 4$

$2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.4.3.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6 = 0$

Etapa 2.4.3.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3) = 0$

Etapa 2.4.3.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u - 2) = 0$

Etapa 2.4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 2.4.3.3

Defina $2 u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.4.3.3.1

Defina $2 u - 3$ como igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Etapa 2.4.3.3.2

Resolva $2 u - 3 = 0$ para $u$ .

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Etapa 2.4.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 u = 3$

Etapa 2.4.3.3.2.2

Divida cada termo em $2 u = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.4.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.4.3.3.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Etapa 2.4.3.4

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.4.3.4.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 2.4.3.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 2.4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 3) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{3}{2}, 2$

Etapa 2.5

Substitua $\frac{3}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{3}{2} = e^{x}$

Etapa 2.6

Resolva $\frac{3}{2} = e^{x}$ .

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Etapa 2.6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 2.6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 2.6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 2.6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 2.7

Substitua $2$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Etapa 2.8

Resolva $2 = e^{x}$ .

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Etapa 2.8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Etapa 2.8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Etapa 2.8.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Etapa 2.8.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Etapa 2.8.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 2.9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{3}{2}), \ln (2)$

Etapa 3