Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (2 x - 1)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{5} (2 y - 1) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = 5^{x} + 1$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $2 y = 5^{x} + 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $2 y = 5^{x} + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Etapa 4.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Etapa 4.2.5

Combine os termos opostos em $2 x - 1 + 1$ .

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Etapa 4.2.5.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 4.2.5.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 4.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 4.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Etapa 4.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $5^{x} + 1 - 1$ .

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Etapa 4.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Etapa 4.3.4.2

Some $5^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Etapa 4.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Etapa 4.3.6

A base do logaritmo $5$ de $5$ é $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$