Pré-cálculo Exemplos

$\frac{48 - 8 x}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $8$ de $48 - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $8$ de $48$ .

$\frac{8 (6) - 8 x}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 (6) + 8 (- x)}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $8$ de $8 (6) + 8 (- x)$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x^{3} - 8 x^{2} + 16 x}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} - 8 x^{2} + 16 x}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore $x$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + 16 x}$

Etapa 1.1.2.3

Fatore $x$ de $16 x$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 16}$

Etapa 1.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 8 x)$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 16}$

Etapa 1.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 8 x) + x \cdot 16$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x + 16)}$

Etapa 1.1.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 8 x + 4^{2})}$

Etapa 1.1.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 1.1.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{8 (6 - x)}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{8 (6 - x)}{x {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{C}{x - 4}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x {(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{8 (6 - x) (x {(x - 4)}^{2})}{x {(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (6 - x) (x {(x - 4)}^{2})}{x {(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8 (6 - x) ({(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (6 - x) {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.6.2

Divida $8 (6 - x)$ por $1$ .

$8 (6 - x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot 6 + 8 (- x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $8$ por $6$ .

$48 + 8 (- x) = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$48 - 8 x = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.8.3

Reordene $48$ e $- 8 x$ .

$- 8 x + 48 = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$- 8 x + 48 = \frac{A (x {(x - 4)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.1.2

Divida $A ({(x - 4)}^{2})$ por $1$ .

$- 8 x + 48 = A ({(x - 4)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.2

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$- 8 x + 48 = A ((x - 4) (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.3

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.9.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.9.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 8 x + 48 = A (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.4.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.4.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.4.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$- 8 x + 48 = A (x^{2} - 8 x + 16) + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A x^{2} + A (- 8 x) + A \cdot 16 + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.6

Simplifique.

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Etapa 1.9.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.6.2

Mova $16$ para a esquerda de $A$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.7

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.9.7.1

Cancele o fator comum.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + \frac{B (x {(x - 4)}^{2})}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.7.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 4)}^{2})}{x - 4}$

Etapa 1.9.8

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ e $x - 4$ .

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Etapa 1.9.8.1

Fatore $x - 4$ de $(C) (x {(x - 4)}^{2})$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{x - 4}$

Etapa 1.9.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.9.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{(x - 4) \cdot 1}$

Etapa 1.9.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{(x - 4) (C (x (x - 4)))}{(x - 4) \cdot 1}$

Etapa 1.9.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + \frac{C (x (x - 4))}{1}$

Etapa 1.9.8.2.4

Divida $C (x (x - 4))$ por $1$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x (x - 4))$

Etapa 1.9.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Etapa 1.9.10

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 4)$

Etapa 1.9.11

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C (x^{2} - 4 \cdot x)$

Etapa 1.9.12

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C x^{2} + C (- 4 x)$

Etapa 1.9.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 A x + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

Etapa 1.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.10.1

Mova $A$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

Etapa 1.10.2

Reordene $B$ e $x$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + 16 A + B x + C x^{2} - 4 C x$

Etapa 1.10.3

Mova $16 A$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + B x + C x^{2} - 4 C x + 16 A$

Etapa 1.10.4

Mova $B x$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} - 8 x A + C x^{2} + B x - 4 C x + 16 A$

Etapa 1.10.5

Mova $- 8 x A$ .

$- 8 x + 48 = A x^{2} + C x^{2} - 8 x A + B x - 4 C x + 16 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$48 = 16 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$48 = 16 A$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$48 = 16 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $48 = 16 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $16 A = 48$ .

$16 A = 48$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $16 A = 48$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $16 A = 48$ por $16$ .

$\frac{16 A}{16} = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 A}{16} = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = \frac{48}{16}$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $48$ por $16$ .

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + C$ por $3$ .

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 8 A + B - 4 C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 8 = - 8 A + B - 4 C$ por $3$ .

$- 8 = - 8 \cdot 3 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $0 = 3 + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = - 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 8 = - 24 + B - 4 C$

$A = 3$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 8 = - 24 + B - 4 C$ por $- 3$ .

$- 8 = - 24 + B - 4 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 24 + B - 4 \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$- 8 = - 24 + B + 12$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $- 24$ e $12$ .

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 8 = B - 12$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $- 8 = B - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $B - 12 = - 8$ .

$B - 12 = - 8$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$B = - 8 + 12$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 8$ e $12$ .

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 4$

$C = - 3$

$A = 3$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$B = 4 C = - 3 A = 3$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = 4, C = - 3, A = 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{C}{x - 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{4}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 4}$