Pré-cálculo Exemplos

$\frac{7 x + 6}{(x + 6) (6 x - 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 6}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{6 x - 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 6) (6 x - 1)$ .

$\frac{(7 x + 6) (x + 6) (6 x - 1)}{(x + 6) (6 x - 1)} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(7 x + 6) (x + 6) (6 x - 1)}{(x + 6) (6 x - 1)} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(7 x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $6 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(7 x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1} = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $7 x + 6$ por $1$ .

$7 x + 6 = \frac{(A) (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$7 x + 6 = \frac{A (x + 6) (6 x - 1)}{x + 6} + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (6 x - 1)$ por $1$ .

$7 x + 6 = (A) (6 x - 1) + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 6 = A (6 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x + 6 = 6 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$7 x + 6 = 6 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.5

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.6

Cancele o fator comum de $6 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$7 x + 6 = 6 A x - A + \frac{(B) (x + 6) (6 x - 1)}{6 x - 1}$

Etapa 1.6.6.2

Divida $(B) (x + 6)$ por $1$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + (B) (x + 6)$

Etapa 1.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 6 = 6 A x - A + B x + B \cdot 6$

Etapa 1.6.8

Mova $6$ para a esquerda de $B$ .

$7 x + 6 = 6 A x - A + B x + 6 B$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$7 x + 6 = 6 x A - A + B x + 6 B$

Etapa 1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$7 x + 6 = 6 x A - A + B x + 6 B$

Etapa 1.7.3

Mova $- A$ .

$7 x + 6 = 6 x A + B x - A + 6 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$7 = 6 A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = - 1 A + 6 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$7 = 6 A + B$

$6 = - 1 A + 6 B$

$7 = 6 A + B$

$6 = - 1 A + 6 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $B$ em $7 = 6 A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $6 A + B = 7$ .

$6 A + B = 7$

$6 = - 1 A + 6 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $6 A$ dos dois lados da equação.

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 1 A + 6 B$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 1 A + 6 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $7 - 6 A$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $6 = - 1 A + 6 B$ por $7 - 6 A$ .

$6 = - 1 A + 6 (7 - 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 A + 6 (7 - 6 A)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$6 = - A + 6 (7 - 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 = - A + 6 \cdot 7 + 6 (- 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$6 = - A + 42 + 6 (- 6 A)$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$6 = - A + 42 - 36 A$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - A + 42 - 36 A$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $36 A$ de $- A$ .

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

$6 = - 37 A + 42$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $6 = - 37 A + 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 37 A + 42 = 6$ .

$- 37 A + 42 = 6$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $42$ dos dois lados da equação.

$- 37 A = 6 - 42$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $42$ de $6$ .

$- 37 A = - 36$

$B = 7 - 6 A$

$- 37 A = - 36$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 37 A = - 36$ por $- 37$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 37 A = - 36$ por $- 37$ .

$\frac{- 37 A}{- 37} = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 37$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 37 A}{- 37} = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{- 36}{- 37}$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - 6 A$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{36}{37}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = 7 - 6 A$ por $\frac{36}{37}$ .

$B = 7 - 6 (\frac{36}{37})$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $7 - 6 (\frac{36}{37})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 6 (\frac{36}{37})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1.1

Combine $- 6$ e $\frac{36}{37}$ .

$B = 7 + \frac{- 6 \cdot 36}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.1.1.2

Multiplique $- 6$ por $36$ .

$B = 7 + \frac{- 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 + \frac{- 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = 7 - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = 7 - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{37}{37}$ .

$B = 7 \cdot \frac{37}{37} - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine $7$ e $\frac{37}{37}$ .

$B = \frac{7 \cdot 37}{37} - \frac{216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{7 \cdot 37 - 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.5.1

Multiplique $7$ por $37$ .

$B = \frac{259 - 216}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.4.2.1.5.2

Subtraia $216$ de $259$ .

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

$B = \frac{43}{37}$

$A = \frac{36}{37}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{43}{37}, A = \frac{36}{37}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 6} + \frac{B}{6 x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{36}{37}}{x + 6} + \frac{\frac{43}{37}}{6 x - 1}$