Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x - 4}{x^{2} (x - 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(x - 4) (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.4.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x - 1)$ por $1$ .

$x - 4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$x - 4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x - 1))$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2.3

Cancele o fator comum.

$x - 4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2.4

Reescreva a expressão.

$x - 4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.5.2.5

Divida $B (x (x - 1))$ por $1$ .

$x - 4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $x$ por $x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.9

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x - 4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.10

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.12

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.5.12.1

Cancele o fator comum.

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.12.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$x - 4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Etapa 1.6.2

Mova $- A$ .

$x - 4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Etapa 1.6.3

Mova $- x B$ .

$x - 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Etapa 1.6.4

Mova $A x$ .

$x - 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A - 1 B$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = - 1 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$- 4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$- 4 = - 1 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 4 = - 1 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = - 4$ .

$- 1 A = - 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Etapa 3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = A - 1 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $4$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A - 1 B$ por $4$ .

$1 = (4) - 1 B$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

$1 = 4 - B$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = 4 - B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $4 - B = 1$ .

$4 - B = 1$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- B = 1 - 4$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- B = - 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$- B = - 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- B = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- B = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{- 3}{- 1}$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = B + C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = B + C$ por $3$ .

$0 = (3) + C$

$B = 3$

$A = 4$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

$0 = 3 + C$

$B = 3$

$A = 4$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $0 = 3 + C$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$B = 3$

$A = 4$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = - 3$

$B = 3$

$A = 4$

$C = - 3$

$B = 3$

$A = 4$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = - 3 B = 3 A = 4$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$C = - 3, B = 3, A = 4$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{- 3}{x - 1}$