Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x \leq 27$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x = 27$

Etapa 2

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 9 x - 27 = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 3) - 9 (x + 3) = 0$

Etapa 3.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 3.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 3.4

Fatore.

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Etapa 3.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.5

Combine expoentes.

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Etapa 3.5.1

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.5.2

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Etapa 3.5.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 3)}^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 \leq 27$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 54$ é menor do que o lado direito $27$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \leq 27$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $27$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 \leq 27$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $270$ é maior do que o lado direito $27$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $- 3 \leq x \leq 3$

Etapa 11

Combine os intervalos.

$x \leq 3$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 3]$

Etapa 13