Pré-cálculo Exemplos

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 11 = 0$

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 3

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 11$

$x = 9$

$x = 1$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = - 11, 9, 1$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 7.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 11$

$- 11 < x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 14$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 14$ na desigualdade original.

$\frac{((- 14) + 11) ((- 14) - 9)}{(- 14) - 1} \geq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 4.6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 11 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 11 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{((0) + 11) ((0) - 9)}{(0) - 1} \geq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $99$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{((5) + 11) ((5) - 9)}{(5) - 1} \geq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{((12) + 11) ((12) - 9)}{(12) - 1} \geq 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $6.\overline{27}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadeiro

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 11 \leq x < 1$ ou $x \geq 9$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 11, 1) \cup [9, \infty)$

Etapa 12