Pré-cálculo Exemplos

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Etapa 5.3.3.2

Some $4$ e $12$ .

$\sqrt{16}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 2)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(0, 2), (0, - 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 4)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 4)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, 4), (0, - 4)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Etapa 8.3.1.6

Some $4$ e $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4}{2}$

Etapa 8.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $2$ de $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Etapa 9.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Etapa 9.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Etapa 9.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 9.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1}}{2}$

Etapa 9.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some $\frac{\sqrt{3}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(0, 2), (0, - 2)$

Ponto imaginário: $(0, 4), (0, - 4)$

Excentricidade: $2$

Parâmetro focal: $\frac{3}{2}$

Assíntotas: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15