Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ é indefinida.

$x = - 3, x = 3$

Etapa 2

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da esquerda e $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 3$

Etapa 3

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da esquerda e $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 3$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 3, 3$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 36$ .

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Etapa 8.1.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2}) - 36}$

Etapa 8.1.1.2

Fatore $4$ de $- 36$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot - 9}$

Etapa 8.1.1.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 9$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 9)}$

Etapa 8.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 3^{2})}$

Etapa 8.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $4 (x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{(4 x + 4 \cdot 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Etapa 8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.5

Mova $x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.10

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.12

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.13

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x - 36}$

Etapa 8.2.14

Some $- 12 x$ e $12 x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 0 - 36}$

Etapa 8.2.15

Subtraia $36$ de $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{3} + 0 - 81 x$ .

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

Etapa 8.8

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

$9$

Etapa 8.9

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{9 x}{4} + \frac{89 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Etapa 8.10

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{9 x}{4}$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 3, 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{9 x}{4}$

Etapa 10