Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 5 x^{2} + 20 x = 50$

Etapa 1

Complete o quadrado de $- 5 x^{2} + 20 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 5$

$b = 20$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (- 5)}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{10}{- 5}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$d = \frac{5 (2)}{- 5}$

Etapa 1.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$e = 0 - \frac{400}{- 20}$

Etapa 1.4.2.1.3

Divida $400$ por $- 20$ .

$e = 0 - - 20$

Etapa 1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$e = 0 + 20$

Etapa 1.4.2.2

Some $0$ e $20$ .

$e = 20$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 5 {(x - 2)}^{2} + 20$ .

$- 5 {(x - 2)}^{2} + 20$

Etapa 2

Substitua $- 5 {(x - 2)}^{2} + 20$ por $- 5 x^{2} + 20 x$ na equação $y^{2} - 5 x^{2} + 20 x = 50$ .

$y^{2} - 5 {(x - 2)}^{2} + 20 = 50$

Etapa 3

Mova $20$ para o lado direito da equação, somando $20$ aos dois lados.

$y^{2} - 5 {(x - 2)}^{2} = 50 - 20$

Etapa 4

Subtraia $20$ de $50$ .

$y^{2} - 5 {(x - 2)}^{2} = 30$

Etapa 5

Divida cada termo por $30$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{y^{2}}{30} - \frac{5 {(x - 2)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

Etapa 6

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{30} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{6} = 1$