Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

Etapa 1

Complete o quadrado de $x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 2

Substitua ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ por $x^{2} - 3 x$ na equação $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

Etapa 3

Mova $- \frac{9}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{9}{4}$ aos dois lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $y + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reordene $y$ e $y^{2}$ .

$y^{2} + y$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2}$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 5

Substitua ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ por $y + y^{2}$ na equação $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

Etapa 6

Mova $- \frac{1}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{4}$ aos dois lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 7

Simplifique $81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

Etapa 7.2

Some $9$ e $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $10$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

Etapa 7.4

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 7.5

Combine $81$ e $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 7.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

Etapa 7.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Multiplique $81$ por $2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

Etapa 7.7.2

Some $162$ e $5$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$