Pré-cálculo Exemplos

$y = 5^{x}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 5^{y}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $5^{y} = x$ .

$5^{y} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (5^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (x)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $y \ln (5) = \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = 5^{x}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Etapa 4.3.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$