Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Etapa 1.1.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.1.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 11$ por $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.6

Subtraia $99$ de $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $- 54$ por $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Etapa 1.1.3.8

Some $- 207$ e $162$ .

$- 45 + 45$

Etapa 1.1.3.9

Some $- 45$ e $45$ .

$0$

Etapa 1.1.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Etapa 1.1.5

Divida $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ por $x + 3$ .

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Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 23 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 23 x^{2} - 69 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $15 x + 45$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Etapa 1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Etapa 1.1.6

Escreva $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ como um conjunto de fatores.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ e cuja soma é $b = - 23$ .

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Etapa 1.2.1.1.1

Fatore $- 23$ de $- 23 x$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.1.1.2

Reescreva $- 23$ como $- 3$ mais $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Etapa 1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Etapa 1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Etapa 7