Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ é indefinida.

$x = - \frac{7}{2}$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Etapa 5.2

Expanda $(x + 1) (3 x - 5)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.5

Reordene $x$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.6

Reordene $x$ e $- 5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.7

Remova os parênteses.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $3$ por $x$ .

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.2.15

Some $- 5 x$ e $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$ .

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- \frac{25 x}{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{7}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 7