Pré-cálculo Exemplos

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ é indefinida.

$x = 3, x = 8$

Etapa 2

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 3$

Etapa 3

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $8$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $8$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 8$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = 3, 8$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Fatore $x^{2} - 11 x + 24$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $- 11$ .

$- 8, - 3$

Etapa 8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{(x - 8) (x - 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $(x - 8) (x - 3)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x (x - 3) - 8 (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 (x - 3)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.4

Reordene $x$ e $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x \cdot x - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{1 + 1} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x - 8 \cdot - 3}$

Etapa 8.2.9

Multiplique $- 8$ por $- 3$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 3 x - 8 x + 24}$

Etapa 8.2.10

Subtraia $8 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 51 x^{2} + 77 x + 100}{x^{2} - 11 x + 24}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} - 55 x^{2} + 120 x$ .

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$5 x$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 44 x + 96$ .

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x$

$4$

$x^{2}$

$11 x$

$24$

$5 x^{3}$

$51 x^{2}$

$77 x$

$100$

$5 x^{3}$

$55 x^{2}$

$120 x$

$4 x^{2}$

$43 x$

$100$

$4 x^{2}$

$44 x$

$96$

$x$

$4$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$5 x + 4 + \frac{x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$

Etapa 8.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 5 x + 4$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 3, 8$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 5 x + 4$

Etapa 10