Pré-cálculo Exemplos

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $221$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $5 x^{2} - 80 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 80$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 80$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 40}{5}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 40$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $5$ de $- 40$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 8}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$d = - 8$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 80$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $6400$ por $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 320$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $320$ .

$e = 0 - 320$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $320$ de $0$ .

$e = - 320$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

Etapa 1.3

Substitua $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ por $5 x^{2} - 80 x$ na equação $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

Etapa 1.4

Mova $- 320$ para o lado direito da equação, somando $320$ aos dois lados.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $9 y^{2} + 54 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $54$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{27}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $27$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$d = 3$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $54$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Etapa 1.6

Substitua $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ por $9 y^{2} + 54 y$ na equação $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

Etapa 1.7

Mova $- 81$ para o lado direito da equação, somando $81$ aos dois lados.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

Etapa 1.8

Simplifique $- 221 + 320 + 81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 221$ e $320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

Etapa 1.8.2

Some $99$ e $81$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $180$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(8, - 3)$

Etapa 5