Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} + 3 x + 2 y + 7 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x + 2 y + 7 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$3 x + 7 = - y^{2} - 2 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$3 x = - y^{2} - 2 y - 7$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $3 x = - y^{2} - 2 y - 7$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $3 x = - y^{2} - 2 y - 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} - \frac{7}{3}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = - \frac{7}{3}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.3.2.5

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{3}}$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{\frac{3}{3}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{1}$

Etapa 1.2.3.2.7

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.2.3.2.7.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{1}$

Etapa 1.2.3.2.7.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{4}))$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{9} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1)$

Etapa 1.2.4.2.1.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$e = - \frac{7}{3} - \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{7}{3} - - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.9

Multiplique $- - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{7}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.9.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 7 + 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $- 7$ e $1$ .

$e = \frac{- 6}{3}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $- 6$ por $3$ .

$e = - 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{3} {(y + 1)}^{2} - 2$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{3} \cdot {(y + 1)}^{2} - 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - 2$

$k = - 1$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 1)$

Etapa 4