Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 \geq 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Etapa 2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 - 26 \cdot 1 + 24$

Etapa 2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$2 - 26 \cdot 1 + 24$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 26$ por $1$ .

$2 - 26 + 24$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $26$ de $2$ .

$- 24 + 24$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 26 x + 24}{x - 1}$

Etapa 2.1.5

Divida $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$26 x$

$24$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							-	$24 x$	+	$24$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 x + 24$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 2 x - 24$

Etapa 2.1.6

Escreva $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 24) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} + 2 x - 24$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 24$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $2$ .

$- 4, 6$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 6)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 4, - 6$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 26 \cdot - 8 + 24 \geq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 216$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 26 \cdot 0 + 24 \geq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $24$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{3} + {(2)}^{2} - 26 \cdot 2 + 24 \geq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{3} + {(6)}^{2} - 26 \cdot 6 + 24 \geq 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $120$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 4$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 6, 1] \cup [4, \infty)$

Etapa 12