Pré-cálculo Exemplos

$\frac{50 - 7 x}{x^{3} - 10 x^{2} + 25 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 10 x^{2} + 25 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 25 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 25 x}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $25 x$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 25}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 25)}$

Etapa 1.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 5^{2})}$

Etapa 1.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}$

Etapa 1.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{50 - 7 x}{x {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(50 - 7 x) ({(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(50 - 7 x) {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.6.2

Divida $50 - 7 x$ por $1$ .

$50 - 7 x = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.7

Reordene $50$ e $- 7 x$ .

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $A ({(x - 5)}^{2})$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A ({(x - 5)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.2

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$- 7 x + 50 = A ((x - 5) (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.3

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.4.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.4.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.4.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 10 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} + A (- 10 x) + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.6

Simplifique.

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Etapa 1.8.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.6.2

Mova $25$ para a esquerda de $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.7

Cancele o fator comum de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Etapa 1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{B (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.7.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Etapa 1.8.8

Cancele o fator comum de ${(x - 5)}^{2}$ e $x - 5$ .

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Etapa 1.8.8.1

Fatore $x - 5$ de $(C) (x {(x - 5)}^{2})$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{x - 5}$

Etapa 1.8.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Etapa 1.8.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Etapa 1.8.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{C (x (x - 5))}{1}$

Etapa 1.8.8.2.4

Divida $C (x (x - 5))$ por $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x (x - 5))$

Etapa 1.8.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 5)$

Etapa 1.8.10

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 5)$

Etapa 1.8.11

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} - 5 \cdot x)$

Etapa 1.8.12

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} + C (- 5 x)$

Etapa 1.8.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.9.1

Mova $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Etapa 1.9.2

Reordene $B$ e $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Etapa 1.9.3

Mova $25 A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + B x + C x^{2} - 5 C x + 25 A$

Etapa 1.9.4

Mova $B x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + C x^{2} + B x - 5 C x + 25 A$

Etapa 1.9.5

Mova $- 10 x A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} + C x^{2} - 10 x A + B x - 5 C x + 25 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$50 = 25 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $50 = 25 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $25 A = 50$ .

$25 A = 50$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $25 A = 50$ por $25$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $25 A = 50$ por $25$ .

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $50$ por $25$ .

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + C$ por $2$ .

$0 = (2) + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 7 = - 10 A + B - 5 C$ por $2$ .

$- 7 = - 10 \cdot 2 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $0 = 2 + C$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 + C = 0$ .

$2 + C = 0$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Etapa 3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 7 = - 20 + B - 5 C$ por $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 \cdot - 2$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 20 + B - 5 \cdot - 2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $- 20$ e $10$ .

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.5

Resolva $B$ em $- 7 = B - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $B - 10 = - 7$ .

$B - 10 = - 7$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$B = - 7 + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 7$ e $10$ .

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$B = 3 C = - 2 A = 2$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = 3, C = - 2, A = 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{3}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{- 2}{x - 5}$