Pré-cálculo Exemplos

$\frac{5 x^{2} + 14 x + 18}{(x + 6) (x^{2} + 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 6}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x + 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 6) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x + 6) (x^{2} + 2)}{(x + 6) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x + 6) (x^{2} + 2)}{(x + 6) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.5.2

Divida $5 x^{2} + 14 x + 18$ por $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = \frac{A (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x^{2} + 2)$ por $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = (A) (x^{2} + 2) + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + A \cdot 2 + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x + 6)$ por $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + (B x + C) (x + 6)$

Etapa 1.6.5

Expanda $(B x + C) (x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x (x + 6) + C (x + 6)$

Etapa 1.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot 6 + C (x + 6)$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Etapa 1.6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.6.1.1

Mova $x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Etapa 1.6.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Etapa 1.6.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $B x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 \cdot (B x) + C x + C \cdot 6$

Etapa 1.6.6.3

Mova $6$ para a esquerda de $C$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 B x + C x + 6 C$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $B$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 x B + C x + 6 C$

Etapa 1.7.2

Mova $2 A$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + B x^{2} + 6 x B + C x + 2 A + 6 C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$14 = 6 B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$18 = 2 A + 6 C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = A + B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

$5 = A + B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $5 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $5 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $18 = 2 A + 6 C$ por $5 - B$ .

$18 = 2 (5 - B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 = 2 \cdot 5 + 2 (- B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$18 = 10 + 2 (- B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Etapa 3.3

Reordene $5$ e $- B$ .

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$14 = 6 B + C$

Etapa 3.4

Resolva $C$ em $14 = 6 B + C$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $6 B + C = 14$ .

$6 B + C = 14$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

Etapa 3.4.2

Subtraia $6 B$ dos dois lados da equação.

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $14 - 6 B$ em cada equação.

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Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $18 = 10 - 2 B + 6 C$ por $14 - 6 B$ .

$18 = 10 - 2 B + 6 (14 - 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique $10 - 2 B + 6 (14 - 6 B)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 = 10 - 2 B + 6 \cdot 14 + 6 (- 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Multiplique $6$ por $14$ .

$18 = 10 - 2 B + 84 + 6 (- 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.5.2.1.1.3

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$18 = 10 - 2 B + 84 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 84 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.5.2.1.2.1

Some $10$ e $84$ .

$18 = - 2 B + 94 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Subtraia $36 B$ de $- 2 B$ .

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $18 = - 38 B + 94$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $- 38 B + 94 = 18$ .

$- 38 B + 94 = 18$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $94$ dos dois lados da equação.

$- 38 B = 18 - 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $94$ de $18$ .

$- 38 B = - 76$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$- 38 B = - 76$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $- 38 B = - 76$ por $- 38$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $- 38 B = - 76$ por $- 38$ .

$\frac{- 38 B}{- 38} = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 38$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 38 B}{- 38} = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.3.1

Divida $- 76$ por $- 38$ .

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Etapa 3.7

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.7.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $C = 14 - 6 B$ por $2$ .

$C = 14 - 6 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique $14 - 6 \cdot 2$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$C = 14 - 12$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Etapa 3.7.2.1.2

Subtraia $12$ de $14$ .

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B + 5$ por $2$ .

$A = - (2) + 5$

$C = 2$

$B = 2$

Etapa 3.7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.4.1

Simplifique $- (2) + 5$ .

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Etapa 3.7.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A = - 2 + 5$

$C = 2$

$B = 2$

Etapa 3.7.4.1.2

Some $- 2$ e $5$ .

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$A = 3, C = 2, B = 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x + 6} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2}$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{3}{x + 6} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2}$