Pré-cálculo Exemplos

$2 y^{2} - 15 x - 4 y - 28 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $2 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 15 x - 4 y - 28 = - 2 y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $4 y$ aos dois lados da equação.

$- 15 x - 28 = - 2 y^{2} + 4 y$

Etapa 1.1.1.3

Some $28$ aos dois lados da equação.

$- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ por $- 15$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 15 x = - 2 y^{2} + 4 y + 28$ por $- 15$ .

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 15$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y^{2}}{- 15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} + \frac{4 y}{- 15} + \frac{28}{- 15}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} + \frac{28}{- 15}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{2 y^{2}}{15} - \frac{4 y}{15} - \frac{28}{15}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{2}{15}$

$b = - \frac{4}{15}$

$c = - \frac{28}{15}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{15}}{2 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{15}$ para o numerador.

$d = \frac{- 4}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{15} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{15} \cdot \frac{1}{\frac{2}{15}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $\frac{- 2}{15}$ por $\frac{1}{\frac{2}{15}}$ .

$d = \frac{- 2}{15 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.3.2.4

Combine $15$ e $\frac{2}{15}$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique $15$ por $2$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{30}{15}}$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $30$ e $15$ .

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Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $15$ de $30$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.6.2.1

Fatore $15$ de $15$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 (1)}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 2}{\frac{15 \cdot 2}{15 \cdot 1}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{\frac{2}{1}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 2}{2}$

Etapa 1.2.3.2.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.2.3.2.7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- \frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 {(\frac{4}{15})}^{2}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{4^{2}}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 \frac{16}{15^{2}}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{1 (\frac{16}{225})}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{16}{225}$ por $1$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{4 (\frac{2}{15})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{2}{15}$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{4 \cdot 2}{15}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = - \frac{28}{15} - \frac{\frac{16}{225}}{\frac{8}{15}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{16}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Fatore $8$ de $16$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 (2)}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{8 \cdot 2}{225} \cdot \frac{15}{8})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{225} \cdot 15)$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $15$ de $225$ .

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 (15)} \cdot 15)$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = - \frac{28}{15} - (\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot 15)$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = - \frac{28}{15} - \frac{2}{15}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 28 - 2}{15}$

Etapa 1.2.4.2.3

Subtraia $2$ de $- 28$ .

$e = \frac{- 30}{15}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $- 30$ por $15$ .

$e = - 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{2}{15} {(y - 1)}^{2} - 2$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{2}{15} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{2}{15}$

$h = - 2$

$k = 1$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Etapa 4