Pré-cálculo Exemplos

${(\sqrt{3} + i)}^{6}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3^{3} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$27 + 6 \sqrt{3^{5}} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.4

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$27 + 6 \sqrt{243} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.5

Reescreva $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Fatore $81$ de $243$ .

$27 + 6 \sqrt{81 (3)} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.5.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$27 + 6 \sqrt{9^{2} \cdot 3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$27 + 6 (9 \sqrt{3}) i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $9$ por $6$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.8.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $15$ por $9$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $135$ por $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.13

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{3}} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.14

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{27} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.15

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Fatore $9$ de $27$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{9 (3)} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.15.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.17

Multiplique $3$ por $20$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.18

Fatore $i^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.19

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.20

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.22.4.1

Cancele o fator comum.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22.4.2

Reescreva a expressão.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.22.5

Avalie o expoente.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.23

Multiplique $15$ por $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.24

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.24.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.24.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.25

Multiplique $45$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Etapa 2.1.26

Fatore $i^{4}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.27

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.27.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.27.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Etapa 2.1.27.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

Etapa 2.1.28

Multiplique $i$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

Etapa 2.1.29

Fatore $i^{4}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

Etapa 2.1.30

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.30.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Etapa 2.1.30.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Etapa 2.1.30.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

Etapa 2.1.31

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

Etapa 2.1.32

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $135$ de $27$ .

$54 \sqrt{3} i - 108 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Etapa 2.2.2

Subtraia $60 \sqrt{3} i$ de $54 \sqrt{3} i$ .

$- 6 \sqrt{3} i - 108 + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Etapa 2.2.3

Some $- 6 \sqrt{3} i$ e $6 \sqrt{3} i$ .

$0 - 108 + 45 - 1$

Etapa 2.2.4

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Subtraia $108$ de $0$ .

$- 108 + 45 - 1$

Etapa 2.2.4.2

Some $- 108$ e $45$ .

$- 63 - 1$

Etapa 2.2.4.3

Subtraia $1$ de $- 63$ .

$- 64$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 64$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 64$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Etapa 6.3

Some $0$ e $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Etapa 6.4

Reescreva $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 64$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{0}{- 64}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $π$ .

$θ = π$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = π$ e $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$