Pré-cálculo Exemplos

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Etapa 2

Fatore.

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Etapa 2.1

Reescreva $\cos^{4} (θ)$ como ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Etapa 2.2

Reescreva $\sin^{4} (θ)$ como ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos^{2} (θ)$ e $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reorganize os termos.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Etapa 2.4.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Etapa 2.4.3

Multiplique $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Etapa 2.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (θ)$ e $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Etapa 4.1.4.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Etapa 4.1.4.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Etapa 4.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Etapa 4.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Etapa 4.2

Some $\cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

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Etapa 4.2.1

Reordene $\cos (θ)$ e $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $\cos (θ) \sin (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Etapa 4.3

Some ${\cos (θ)}^{2}$ e $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Etapa 6

Subtraia ${\sin (θ)}^{2}$ de $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ é uma identidade