Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 9 x - 22 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 9 x - 22$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 22$ e cuja soma é $9$ .

$- 2, 11$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 11) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 11$

Etapa 7

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2, - 11$

$x = - 4$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 2, - 11, - 4$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 9 x - 22}{x + 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 4 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 14$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 14$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 14)}^{2} + 9 (- 14) - 22}{(- 14) + 4} \geq 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 4.8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 11 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 11 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 22}{(- 8) + 4} \geq 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $7.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) - 22}{(0) + 4} \geq 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 5.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} + 9 (4) - 22}{(4) + 4} \geq 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $3.75$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 11$ Falso

$- 11 < x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 11 \leq x < - 4$ ou $x \geq 2$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 11, - 4) \cup [2, \infty)$

Etapa 15