Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} + 9 y^{2} + 36 x - 72 y = 0$

Etapa 1

Divida os dois lados da equação por $9$ .

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Etapa 2

Complete o quadrado de $x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 2.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Etapa 3

Substitua ${(x + 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} + 4 x$ na equação $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 8 y = 0$

Etapa 4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x + 2)}^{2} + y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Etapa 5

Complete o quadrado de $y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{1}$

Etapa 5.3.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Etapa 6

Substitua ${(y - 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} - 8 y$ na equação $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 0 + 4$

Etapa 7

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 0 + 4 + 16$

Etapa 8

Simplifique $0 + 4 + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $0$ e $4$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4 + 16$

Etapa 8.2

Some $4$ e $16$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 20$

Etapa 9

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 10

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = 2 \sqrt{5}$

$h = - 2$

$k = 4$

Etapa 11

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- 2, 4)$

Etapa 12

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- 2, 4)$

Raio: $2 \sqrt{5}$

Etapa 13