Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{x^{2} - 4 x - 5}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} - 4 x - 5}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 1$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 5 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 5 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 5 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 5$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 1, x \geq 5}$

Etapa 4