Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x \leq 125$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x = 125$

Etapa 2

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125 = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5) = 0$

Etapa 3.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 3.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4

Fatore.

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Etapa 3.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 5) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 3.5

Combine expoentes.

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Etapa 3.5.1

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 3.5.2

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Etapa 3.5.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 5

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva ${(x + 5)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 \leq 125$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $8$ é menor do que o lado direito $125$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 \leq 125$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $125$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{3} + 5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 \leq 125$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $632$ é maior do que o lado direito $125$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 5$ ou $- 5 \leq x \leq 5$

Etapa 11

Combine os intervalos.

$x \leq 5$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 5]$

Etapa 13