Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{2} - 2 x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1, 3}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq - \frac{1}{2}, y > 0}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - 1, 3}$

Intervalo: $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{1}{2}, y > 0}$

Etapa 6