Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Complete o quadrado de $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Etapa 2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Etapa 2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Etapa 2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Etapa 2.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{9}{16}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.1.4.2

Multiplique $16$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $\frac{9}{64}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Etapa 2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Etapa 3

Substitua ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ por $x^{2} + \frac{3}{4} x$ na equação $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Mova $- \frac{9}{64}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{9}{64}$ aos dois lados.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Etapa 5

Complete o quadrado de $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Etapa 5.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Etapa 5.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.2.3

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.4.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Etapa 5.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.1.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Etapa 5.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 5.5.2.1.4

Multiplique $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{25}{9}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Etapa 5.5.2.1.4.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $\frac{25}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Etapa 5.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Etapa 6

Substitua ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ por $y^{2} + \frac{5}{3} y$ na equação $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Etapa 7

Mova $- \frac{25}{36}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{25}{36}$ aos dois lados.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Etapa 8

Simplifique $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $\frac{9}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $\frac{9}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $\frac{25}{36}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 8.1.6

Multiplique $\frac{25}{36}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Etapa 8.1.7

Multiplique $2$ por $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Etapa 8.1.8

Reordene os fatores de $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Etapa 8.1.9

Multiplique $9$ por $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Etapa 8.1.10

Reordene os fatores de $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Etapa 8.1.11

Multiplique $16$ por $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Etapa 8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Etapa 8.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique $9$ por $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $25$ por $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Etapa 8.4

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Some $288$ e $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Etapa 8.4.2

Some $369$ e $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Etapa 9

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 10

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Etapa 11

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Etapa 12

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Raio: $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Etapa 13