Pré-cálculo Exemplos

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

Etapa 1

Some $\frac{x^{2}}{25}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 + \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 3.2.1.3

Combine $9$ e $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{9 x^{2}}{25}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$ .

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Etapa 5.1

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot \frac{25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Etapa 5.2

Combine $9$ e $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 9 x^{2}}{25}}$

Etapa 5.4

Fatore $9$ de $9 \cdot 25 + 9 x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $9$ de $9 \cdot 25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 x^{2}}{25}}$

Etapa 5.4.2

Fatore $9$ de $9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 (x^{2})}{25}}$

Etapa 5.4.3

Fatore $9$ de $9 (25) + 9 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25 + x^{2})}{25}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\frac{9 (25 + x^{2})}{25}$ como ${(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9 (25 + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{25}}$

Etapa 5.5.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.5.3

Reorganize a fração $\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{5^{2} + x^{2}}$

Etapa 5.7

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

Etapa 5.8

Combine $\frac{3}{5}$ e $\sqrt{25 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{25 + x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$25 + x^{2} \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Subtraia $25$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq - 25$

Etapa 8.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 9

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Intervalo: $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Etapa 12