Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ como ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Simplifique.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = 2$

Etapa 2.3.5

Consolide as soluções.

$x = - 3, 2$

Etapa 2.4

Encontre o domínio de $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

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Etapa 2.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.4.2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4.2.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = 2$

Etapa 2.4.2.5

Consolide as soluções.

$x = - 3, 2$

Etapa 2.4.2.6

Encontre o domínio de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4.2.6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 2.4.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 2.4.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.4.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Etapa 2.4.2.8.1.3

O lado esquerdo $0.375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.4.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.4.2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Etapa 2.4.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 1.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.4.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.4.2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Etapa 2.4.2.8.3.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.4.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 2.4.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x > 2$

Etapa 2.4.3

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Etapa 2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Etapa 2.6.1.3

O lado esquerdo $0.61237243$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Etapa 2.6.2.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Etapa 2.6.3.3

O lado esquerdo $1.87082869$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $x > 2$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 3$

$x = 2$

Etapa 4.5

Consolide as soluções.

$x = - 3, 2$

Etapa 4.6

Encontre o domínio de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 4.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 4.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Etapa 4.8.1.3

O lado esquerdo $0.375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Etapa 4.8.2.3

O lado esquerdo $- 1.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Etapa 4.8.3.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 4.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x > 2$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{x + 3}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 3, x > 2}$

Etapa 8